問題詳情:
如圖,在直三稜柱ABC―A1B1C1中,∠ACB=90°,CB=1, ,M為側稜CC1上一點,AM⊥BA1.
(1)求*:AM⊥平面A1BC;
(2)求二面角B AM C的大小;
(3)求點C到平面ABM的距離.
【回答】
*:(I)在直三稜柱ABC-A1B1C1中,易知面ACC1A1⊥面ABC,
∵∠ACB = 90°,
∴BC⊥面ACC1A1,
∵AM面ACC1A1
∴BC⊥AM
∵AM⊥BA1,且BC∩BA1=B
∴AM⊥平面A1BC
(II)設AM與A1C的交點為O,連結BO,由(I)可知AM⊥OB,且AM⊥OC,所以∠BOC為二面角B AM C的平分角
在Rt△ACM和Rt△A1AC中,∠OAC +∠ACO=90°,
∴∠AA1C =∠MAC
∴Rt△ACM∽Rt△A1AC
∴AC2 = MC・AA1
,故所求二面角的大小為45°
(III)設點C到平面ABM的距離為h,易知BO=,
可得
∴點C到平面ABM的距離為
解法二:(I)同解法一
(II)如圖以C為原點,CA,CB,CC1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角座標系,則
即
設向量,則
的平面AMB的一個法向量為
是平面AMC的一個法向量
易知,所夾的角等於二面角B AM C的大小,故所求二面角的大小為45°
(III)向量即為所求距離
∴點C到平面ABM的距離為
知識點:空間幾何體
題型:計算題