如圖，在矩形OABC中，點O為原點，點A的座標為（0，8），點C的座標為（6，0）．拋物線y=﹣x2+bx+c...

問題詳情：

如圖，在矩形OABC中，點O為原點，點A的座標為（0，8），點C的座標為（6，0）．拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A、C，與AB交於點D．

（1）求拋物線的函數解析式；

（2）點P為線段BC上一個動點（不與點C重合），點Q為線段AC上一個動點，AQ=CP，連接PQ，設CP=m，△CPQ的面積為S．

①求S關於m的函數表達式；

②當S最大時，在拋物線y=﹣x2+bx+c的對稱軸l上，若存在點F，使△DFQ為直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點F的座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

解：（1）將A、C兩點座標代入拋物線，得

，

解得：，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+8；

（2）①∵OA=8，OC=6，

∴AC==10，

過點Q作QE⊥BC與E點，則sin∠ACB===，

∴=，

∴QE=（10﹣m），

∴S=•CP•QE=m×（10﹣m）=﹣m2+3m；

②∵S=•CP•QE=m×（10﹣m）=﹣m2+3m=﹣（m﹣5）2+，

∴當m=5時，S取最大值；

在拋物線對稱軸l上存在點F，使△FDQ為直角三角形，

∵拋物線的解析式為y=﹣x2+x+8的對稱軸為x=，

D的座標為（3，8），Q（3，4），

當∠FDQ=90°時，F1（，8），

當∠FQD=90°時，則F2（，4），

當∠DFQ=90°時，設F（，n），

則FD2+FQ2=DQ2，

即+（8﹣n）2++（n﹣4）2=16，

解得：n=6±，

∴F3（，6+），F4（，6﹣），

滿足條件的點F共有四個，座標分別為

F1（，8），F2（，4），F3（，6+），F4（，6﹣）．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題