如圖1，在平面直角座標系中，點O為座標原點，拋物線y=ax2+bx+c與y軸交於點A（0，6），與x軸交於點B...

問題詳情：

如圖1，在平面直角座標系中，點O為座標原點，拋物線y=ax2+bx+c與y軸交於點A（0，6），與x軸交於點B（-2，0），C（6，0）． （1）直接寫出拋物線的解析式及其對稱軸； （2）如圖2，連接AB，AC，設點P（m，n）是拋物線上位於第一象限內的一動點，且在對稱軸右側，過點P作PD⊥AC於點E，交x軸於點D，過點P作PG∥AB交AC於點F，交x軸於點G．設線段DG的長為d，求d與m的函數關係式，並註明m的取值範圍； （3）在（2）的條件下，若△PDG的面積為， ①求點P的座標； ②設M為直線AP上一動點，連接OM交直線AC於點S，則點M在運動過程中，在拋物線上是否存在點R，使得△ARS為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點M及其對應的點R的座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

解：（1）∵拋物線與x軸交於點B（-2，0），C（6，0） ∴設交點式y=a（x+2）（x-6） ∵拋物線過點A（0，6） ∴-12a=6 ∴a=- ∴拋物線解析式為y=-（x+2）（x-6）=-x2+2x+6=-（x-2）2+8 ∴拋物線對稱軸為直線x=2． （2）過點P作PH⊥x軸於點H，如圖1 ∴∠PHD=90° ∵點P（m，n）是拋物線上位於第一象限內的一動點且在對稱軸右側 ∴2＜m＜6，PH=n=-m2+2m+6，n＞0 ∵OA=OC=6，∠AOC=90° ∴∠ACO=45° ∵PD⊥AC於點E ∴∠CED=90° ∴∠CDE=90°-∠ACO=45° ∴DH=PH=n ∵PG∥AB ∴∠PGH=∠ABO ∴△PGH∽△ABO ∴ ∴GH=n ∴d=DH-GH=n-n=n=（-m2+2m+6）=-m2+m+4（2＜m＜6） （3）①∵S△PDG=DG•PH= ∴n•n= 解得：n1=，n2=-（捨去） ∴-m2+2m+6= 解得：m1=-1（捨去），m2=5 ∴點P座標為（5，） ②在拋物線上存在點R，使得△ARS為等腰直角三角形． 設直線AP解析式為y=kx+6 把點P代入得：5k+6= ∴k=- ∴直線AP：y=-x+6 i）若∠RAS=90°，如圖2 ∵直線AC解析式為y=-x+6 ∴直線AR解析式為y=x+6   解得：（即點A） ∴R（2，8） ∵∠ASR=∠OAC=45° ∴RS∥y軸 ∴xS=xR=2 ∴S（2，4） ∴直線OM：y=2x ∵  解得： ∴M（，）ii）若∠ASR=90°，如圖3 ∴∠SAR=∠ACO=45° ∴AR∥x軸 ∴R（4，6） ∵S在AR的垂直平分線上 ∴S（2，4） ∴M（，） iii）若∠ARS=90°，如圖4， ∴∠SAR=∠ACO=45°，RS∥y軸 ∴AR∥x軸 ∴R（4，6） ∴S（4，2） ∴直線OM：y=x ∵  解得： ∴M（6，3） 綜上所述，M1（，），R1（2，8）；M2（，），R2（4，6）；M3（6，3），R3（4，6）． 【解析】

（1）已知拋物線與x軸交點B、C，故可設交點式，再把點A代入即求得拋物線解析式．用*法或公式求得對稱軸． （2）過點P作PH⊥x軸於點H，由PD⊥AD於點E易*∠PDH=45°，故DH=PH=n．由PG∥AB易*△PGH∽△ABO，利用對應邊成比例可得GH=n，把含m的式子代入d=DH-GH即得到d與m的函數關係式，再由點P的位置確定2＜m＜6． （3）①用n表示DG、PH，代入S△PDG=DG•PH=，求得n的值（捨去負值），再利用n=-m2+2m+6解關於m的方程即求得點P座標． ②因為△ARS為等腰直角三角形且AS與y軸夾角為45°，故AR與y軸夾角為45°或90°．由於不確定△ARS哪個為直角頂點，故需分3種情況討論，畫出圖形，利用45°或90°來確定點R、S的位置，進而求點R、S座標，再由S的座標求直線OM解析式，把直線OM與直線AP解析式聯立方程組，解得點M座標． 本題考查了二次函數的圖象與*質，等腰直角三角形的*質，相似三角形的判定和*質，一元二次方程的解法，一次函數的圖象與*質，二元一次方程組的解法．第（3）題②要充分利用等腰直角三角形的*質和直線AC與y軸夾角為45°來解題，畫出圖形進行分類討論，先確定點R、S的位置並計算座標，再求直線OM解析式與AP聯立求M．

知識點：各地中考

題型：綜合題