如圖，O是座標原點，過點A（﹣1，0）的拋物線y=x2﹣bx﹣3與x軸的另一個交點為B，與y軸交於點C，其頂點...

問題詳情：

如圖，O是座標原點，過點A（﹣1，0）的拋物線y=x2﹣bx﹣3與x軸的另一個交點為B，與y軸交於點C，其頂點為D點．

（1）求b的值以及點D的座標；

（2）連接BC、BD、CD，在x軸上是否存在點P，使得以A、C、P為頂點的三角形與△BCD相似．若存在，求出點P的座標；若不存在，説明理由；

（3）動點Q的座標為（m，1）．

①當△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形時，求m的值；

②連接OQ、CQ，求△CQO的外接圓半徑的最小值，並求出此時點Q的座標．

【回答】

【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y=x2﹣bx﹣3，得

1+b﹣3=0，

解得b=2．

y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴D（1，﹣4）．

（2）如圖1，

當y=0時，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，即A（﹣1，0），B（3，0），D（1，﹣4）．

由勾股定理，得

BC2=18，CD2=1+1=2，BD2=22+16=20，

BC2+CD2=BD2，∠BCD=90°，

①當△APC△DCB時， =，即=，解得AP=1，即P（0，0）；

②當△ACP∽△DCB時， =，即=，解得AP=10，即P′（9，0），

綜上所述：點P的座標（0，0）（9，0）；

（3）①如圖2，當x=0時，y=﹣3，即C（0，﹣3）．

又∵B（3，0），

∴當∠QBC=90°，由BC2+BQ2=CQ2得到：32+（﹣3）2+（m﹣3）2+12=（m﹣0）2+（1+3）2，

解得m=2；

當∠QCB=90°，由BC2+CQ2=BQ2得到：32+（﹣3）2+（m﹣0）2+（1+3）2=（m﹣3）2+12，

解得m=4；

綜上所述，m的值為2或4；

②如圖3，

記△OQC的外心為M，則M在OC的垂直平分線MN上（MN與y軸交與點N）．

∵當MQ取最小值時，

⊙M與直線y=1相切，

MQ=FN=OM=2.5，

MN===2，

FQ=MN=2，

∴Q（2，1）．

根據題意知，（﹣2，1）也滿足題意，

綜上所述，Q的座標是（2，1）或Q（﹣2，1）．

知識點：相似三角形

題型：綜合題