綜合與探究在平面直角座標系中，拋物線y＝x2+bx+c經過點A（﹣4，0），點M為拋物線的頂點，點B在y軸上，...

問題詳情：

綜合與探究

在平面直角座標系中，拋物線y＝x2+bx+c經過點A（﹣4，0），點M為拋物線的頂點，點B在y軸上，且OA＝OB，直線AB與拋物線在第一象限交於點C（2，6），如圖①．

（1）求拋物線的解析式；

（2）直線AB的函數解析式為　   　，點M的座標為　   　，cos∠ABO＝　   　；

連接OC，若過點O的直線交線段AC於點P，將△AOC的面積分成1：2的兩部分，則點P的座標為　   　；

（3）在y軸上找一點Q，使得△AMQ的周長最小．具體作法如圖②，作點A關於y軸的對稱點A'，連接MA'交y軸於點Q，連接AM、AQ，此時△AMQ的周長最小．請求出點Q的座標；

（4）在座標平面內是否存在點N，使以點A、O、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點N的座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

(1)y＝x2+2x；(2)y＝x+4，M(-2，-2），cos∠ABO＝；(-2，2)或(0，4)；(3)點Q(0，-)；(4)存在，點N的座標為(6，6)或(-6，-6)或(-2，6)

【解析】

(1)將點A、C的座標代入拋物線表達式即可求解；

(2)點A（﹣4，0），OB＝OA＝4，故點B（0，4），即可求出AB的表達式；OP將△AOC的面積分成1：2的兩部分，則AP＝AC或AC，即可求解；

(3)△AMQ的周長＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M最小，即可求解；

(4)分AC是邊、AC是對角線兩種情況，分別求解即可．

【詳解】

解：(1)將點A、C的座標代入拋物線表達式得：，解得，

故拋物線的解析式為：y＝x2+2x；

(2)點A（﹣4，0），OB＝OA＝4，故點B（0，4），

由點A、B的座標得，直線AB的表達式為：y＝x+4；

則∠ABO＝45°，故cos∠ABO＝；

對於y＝x2+2x，函數的對稱軸為x＝-2，故點M(-2-2)；

OP將△AOC的面積分成1：2的兩部分，則AP＝AC或AC，，

則，解得：yP＝2或4，

故點P(-2，2)或(0，4)，

故*為：y＝x+4；(-2-2)；；(-2，2)或(0，4)；

(3)△AMQ的周長＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M最小，

點A′（4，0），

設直線A′M的表達式為：y＝kx+b，則，解得，

故直線A′M的表達式為：，

令x＝0，則y＝，故點Q（0，）；

(4)存在，理由如下：

設點N（m，n），而點A、C、O的座標分別為（﹣4，0）、（2，6）、（0，0），

①當AC是邊時，

點A向右平移6個單位向上平移6個單位得到點C，同樣點O（N）右平移6個單位向上平移6個單位得到點N（O），

即0 ± 6＝m，0 ± 6＝n，解得：m＝n＝±6，

故點N(6，6)或(-6，-6)；

②當AC是對角線時，

由中點公式得：﹣4+2＝m+0，6+0＝n+0，

解得：m＝-2，n＝6，

故點N(-2，6）；

綜上，點N的座標為(6，6)或(-6，-6)或(-2，6)．

【點睛】

本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到一次函數的*質、平行四邊形的*質、圖形的平移、面積的計算等，其中第4問要注意分類求解，避免遺漏．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題