問題詳情:
如圖,已知拋物線交x軸於A、B兩點,交y軸於C點,A點座標為(﹣1,0),OC=2,OB=3,點D為拋物線的頂點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)P為座標平面內一點,以B、C、D、P為頂點的四邊形是平行四邊形,求P點座標;
(3)若拋物線上有且僅有三個點M1、M2、M3使得△M1BC、△M2BC、△M3BC的面積均為定值S,求出定值S及M1、M2、M3這三個點的座標.
【回答】
【分析】(1)由OC與OB的長,確定出B與C的座標,再由A座標,利用待定係數法確定出拋物線解析式即可;
(2)分三種情況討論:當四邊形CBPD是平行四邊形;當四邊形BCPD是平行四邊形;四邊形BDCP是平行四邊形時,利用平移規律確定出P座標即可;
(3)由B與C座標確定出直線BC解析式,求出與直線BC平行且與拋物線只有一個交點時交點座標,確定出交點與直線BC解析式,進而確定出另一條與直線BC平行且與BC距離相等的直線解析式,確定出所求M座標,且求出定值S的值即可.
【解答】解:(1)由OC=2,OB=3,得到B(3,0),C(0,2),
設拋物線解析式為y=a(x+1)(x﹣3),
把C(0,2)代入得:2=﹣3a,即a=﹣,
則拋物線解析式為y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+x+2;
(2)拋物線y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+x+2=﹣(x﹣1)2+,
∴D(1,),
當四邊形CBPD是平行四邊形時,由B(3,0),C(0,2),得到P(4,);
當四邊形CDBP是平行四邊形時,由B(3,0),C(0,2),得到P(2,﹣);
當四邊形BCPD是平行四邊形時,由B(3,0),C(0,2),得到P(﹣2,);
(3)設直線BC解析式為y=kx+b,
把B(3,0),C(0,2)代入得:,
解得:,
∴y=﹣x+2,
設與直線BC平行的解析式為y=﹣x+b,
聯立得:,
消去y得:2x2﹣6x+3b﹣6=0,
當直線與拋物線只有一個公共點時,△=36﹣8(3b﹣6)=0,
解得:b=,即y=﹣x+,
此時交點M1座標為(,);
可得出兩平行線間的距離為,
同理可得另一條與BC平行且平行線間的距離為的直線方程為y=﹣x+,
聯立解得:M2(,﹣),M3(,﹣﹣),
此時S=1.
【點評】此題屬於二次函數綜合題,涉及的知識有:待定係數法求函數解析式,一次函數的*質,利用了分類討論的思想,熟練掌握待定係數法是解本題的關鍵.
知識點:各地中考
題型:綜合題