問題詳情:
如圖,拋物線y=ax2﹣5ax+c與座標軸分別交於點A,C,E三點,其中A(﹣3,0),C(0,4),點B在x軸上,AC=BC,過點B作BD⊥x軸交拋物線於點D,點M,N分別是線段CO,BC上的動點,且CM=BN,連接MN,AM,AN.
(1)求拋物線的解析式及點D的座標;
(2)當△CMN是直角三角形時,求點M的座標;
(3)試求出AM+AN的最小值.
【回答】
(1)拋物線解析式為y=﹣x2+x+4;D點座標為(3,5);(2)M點的座標為(0,)或(0,);(3)AM+AN的最小值為.
【解析】
(1)利用待定係數法求拋物線解析式;利用等腰三角形的*質得B(3,0),然後計算自變量為3所對應的二次函數值可得到D點座標;
(2)利用勾股定理計算出BC=5,設M(0,m),則BN=4﹣m,CN=5﹣(4﹣m)=m+1,由於∠MCN=∠OCB,根據相似三角形的判定方法,當時,△CMN∽△COB,於是有∠CMN=∠COB=90°,即;當時,△CMN∽△CBO,於是有∠CNM=∠COB=90°,即,然後分別求出m的值即可得到M點的座標;
(3)連接DN,AD,如圖,先*△ACM≌△DBN,則AM=DN,所以AM+AN=DN+AN,利用三角形三邊的關係得到DN+AN≥AD(若且唯若點A、N、D共線時取等號),然後計算出AD即可.
【詳解】(1)把A(﹣3,0),C(0,4)代入y=ax2﹣5ax+c得,解得,
∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+4;
∵AC=BC,CO⊥AB,
∴OB=OA=3,
∴B(3,0),
∵BD⊥x軸交拋物線於點D,
∴D點的橫座標為3,
當x=3時,y=﹣×9+×3+4=5,
∴D點座標為(3,5);
(2)在Rt△OBC中,BC==5,
設M(0,m),則BN=4﹣m,CN=5﹣(4﹣m)=m+1,
∵∠MCN=∠OCB,
∴當時,△CMN∽△COB,則∠CMN=∠COB=90°,
即,解得m=,此時M點座標為(0,);
當時,△CMN∽△CBO,則∠CNM=∠COB=90°,
即,解得m=,此時M點座標為(0,);
綜上所述,M點的座標為(0,)或(0,);
(3)連接DN,AD,如圖,
∵AC=BC,CO⊥AB,
∴OC平分∠ACB,
∴∠ACO=∠BCO,
∵BD∥OC,
∴∠BCO=∠DBC,
∵DB=BC=AC=5,CM=BN,
∴△ACM≌△DBN,
∴AM=DN,
∴AM+AN=DN+AN,
而DN+AN≥AD(若且唯若點A、N、D共線時取等號),
∴DN+AN的最小值=,
∴AM+AN的最小值為.
【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的座標特徵、二次函數的*質和相似三角形的判定與*質等,解題的關鍵是會利用待定係數法求函數解析式、理解座標與圖形*質、會運用分類討論的思想解決數學問題.
知識點:二次函數單元測試
題型:解答題