如圖，矩形OABC的兩邊在座標軸上，點A的座標為（10，0），拋物線y=ax2+bx+4過點B，C兩點，且與x...

問題詳情：

如圖，矩形OABC的兩邊在座標軸上，點A的座標為（10，0），拋物線y=ax2+bx+4過點B，C兩點，且與x軸的一個交點為D（﹣2，0），點P是線段CB上的動點，設CP=t（0＜t＜10）.

(1)請直接寫出B、C兩點的座標及拋物線的解析式；

(2)過點P作PE⊥BC，交拋物線於點E，連接BE，當t為何值時，∠PBE=∠OCD？

(3)點Q是x軸上的動點，過點P作PM∥BQ，交CQ於點M，作PN∥CQ，交BQ於點N，當四邊形PMQN為正方形時，請求出t的值.

【回答】

解：

(1)在y=ax2+bx+4中，令x=0可得y=4，

∴C（0，4），

∵四邊形OABC為矩形，且A（10，0），

∴B（10，4），

把B、D座標代入拋物線解析式可得，解得，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+4；

(2)由題意可設P（t，4），則E（t，﹣t2+t+4），

∴PB=10﹣t，PE=﹣t2+t+4﹣4=﹣t2+t，

∵∠BPE=∠COD=90°，∠PBE=∠OCD，

∴△PBE∽△OCD，

∴=，即BPOD=COPE，

∴2（10﹣t）=4（﹣t2+t），解得t=3或t=10（不合題意，捨去），

∴當t=3時，∠PBE=∠OCD；

(3)當四邊形PMQN為正方形時，則∠PMC=∠PNB=∠CQB=90°，PM=PN，

∴∠CQO+∠AQB=90°，

∵∠CQO+∠OCQ=90°，

∴∠OCQ=∠AQB，

∴Rt△COQ∽Rt△QAB，

∴=，即OQAQ=COAB，

設OQ=m，則AQ=10﹣m，

∴m（10﹣m）=4×4，解得m=2或m=8，

①當m=2時，CQ==2，BQ==4，

∴sin∠BCQ==，sin∠CBQ==，

∴PM=PCsin∠PCQ=t，PN=PBsin∠CBQ=（10﹣t），

∴t=（10﹣t），解得t=，

②當m=8時，同理可求得t=，

∴當四邊形PMQN為正方形時，t的值為或．

知識點：相似三角形

題型：解答題