如圖，等邊△ABC的邊長為2，E是邊BC上的動點，EF∥AC交邊AB於點F，在邊AC上取一點P，使PE=EB，...

問題詳情：

如圖，等邊△ABC的邊長為2，E是邊BC上的動點，EF∥AC交邊AB於點F，在邊AC上取一點P，使PE=EB，連接FP．

（1）請直接寫出圖中與線段EF相等的兩條線段；（不再另外添加輔助線）

（2）探究：當點E在什麼位置時，四邊形EFPC是平行四邊形？並判斷四邊形EFPC是什麼特殊的平行四邊形，請説明理由；

（3）在（2）的條件下，以點E為圓心，r為半徑作圓，根據⊙E與平行四邊形EFPC四條邊交點的總個數，求相應的r的取值範圍．

【回答】

【考點】點與圓的位置關係；等邊三角形的*質；平行四邊形的判定；菱形的判定．

【專題】探究型．

【分析】（1）由平行易得△BFE是等邊三角形，那麼各邊是相等的；

（2）當點E是BC的中點時，△PEC為等邊三角形，可得到PC=EC=BE=EF，也就得到了四邊形EFPC是平行四邊形，再有EF=EC可*為菱形；

（3）根據各點到圓心的距離作答即可．

【解答】解：（1）如圖，∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=∠A=∠C=60°．

又∵EF∥AC，

∴∠BFE=∠A=60°，∠BEF=∠C=60°，

∴△BFE是等邊三角形，PE=EB，

∴EF=BE=PE=BF；

（2）當點E是BC的中點時，四邊形是菱形；

∵E是BC的中點，

∴EC=BE，

∵PE=BE，

∴PE=EC，

∵∠C=60°，

∴△PEC是等邊三角形，

∴PC=EC=PE，

∵EF=BE，

∴EF=PC，

又∵EF∥CP，

∴四邊形EFPC是平行四邊形，

∵EC=PC=EF，

∴平行四邊形EFPC是菱形；

（3）如圖所示：

當點E是BC的中點時，EC=1，則NE=ECcos30°=，

當0＜r＜時，有兩個交點；

當r=時，有四個交點；

當＜r＜1時，有六個交點；

當r=1時，有三個交點；

當r＞1時，有0個交點．

【點評】本題綜合考查了等邊三角形的*質和判定，菱形的判定及點和圓的位置關係等知識點．注意圓和線段有交點，應根據半徑作答．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：綜合題