已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），左頂點為．（1）求雙曲線C的方程（2）若直線y=kx+m（k≠0...

問題詳情：

已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），左頂點為．

（1）求雙曲線C的方程

（2）若直線y=kx+m（k≠0，m≠0）與雙曲線C交於不同的兩點M、N，且線段MN的垂直平分線過點A（0，﹣1），求實數m的取值範圍．

【回答】

【考點】雙曲線的應用；雙曲線的標準方程；直線與圓錐曲線的綜合問題．

【專題】計算題．

【分析】（1）設雙曲線的標準方程，依題意可知a和c，進而根據a2+b2=c2求得b，則雙曲線方程可得．

（2）把直線方程與雙曲線方程聯立，消去y，利用判別式大於0求得m和k的不等式關係，設M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中點為B（x0，y0）．根據韋達定理表示出x0和y0，根據AB⊥MN，可知AB的斜率為﹣，進而求得k和m的關係，最後綜合可求得m的範圍．

【解答】解：（I）設雙曲線方程為

由已知得

故雙曲線C的方程為．

（II）聯立

整理得（1﹣3k2）x2﹣6kmx﹣3m2﹣3=0．

∵直線與雙曲線有兩個不同的交點，

∴

可得m2＞3k2﹣1．①

設M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中點為B（x0，y0）．

整理得3k2=4m+1．②

將②代入①，得m2﹣4m＞0，∴m＜0或m＞4．

又3k2=4m+1＞0（k≠0），即m＞﹣．

∴m的取值範圍是（﹣，0）∪（4，+∞）．

【點評】本題主要考查了雙曲線的應用．考查了學生綜合分析問題和基本的運算能力．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題