問題詳情:
設函數f(x)=-x3+2ax2-3a2x+b(0<a<1).
(Ⅰ)求函數f(x)的單調區間和極值;
(Ⅱ)若當x∈[a+1,a+2]時,恆有|f′(x)|≤a,試確定a的取值範圍;
(Ⅲ)當a=時,關於x的方程f(x)=0在區間[1,3]上恆有兩個相異的實根,求實數b的取值範圍.
【回答】
解 (1)f′(x)=-x2+4ax-3a2=-(x-a)(x-3a).
令f′(x)=0,得x=a或x=3a.
當x變化時,f′(x)、f(x)的變化情況如下表:
x | (-∞,a) | a | (a,3a) | 3a | (3a,+∞) |
f′(x) | - | 0 | + | 0 | - |
f(x) | ↘ | 極小 | ↗ | 極大 | ↘ |
∴f(x)在(-∞,a)和(3a,+∞)上是減函數,在(a,3a)上是增函數.
當x=a時,f(x)取得極小值,f(x)極小=f(a)=b-a3;
當x=3a時,f(x)取得極大值,f(x)極大=f(3a)=b.…………………………4分
(2)f′(x)=-x2+4ax-3a2,其對稱軸為x=2a.
因為0<a<1,所以2a<a+1.
所以f′(x)在區間[a+1,a+2]上是減函數.
當x=a+1時,f′(x)取得最大值,f′(a+1)=2a-1;
當x=a+2時,f′(x)取得最小值,f′(a+2)=4a-4.
於是有即≤a≤1.又因為0<a<1,所以≤a<1.……………………8分
(3)當a=時,f(x)=-x3+x2-x+b.
f′(x)=-x2+x-,由f′(x)=0,即-x2+x-=0,
解得x1=,x2=2,即f(x)在上是減函數,
在上是增函數,在(2,+∞)上是減函數.
要使f(x)=0在[1,3]上恆有兩個相異實根,即f(x)在(1,2),(2,3)上各有一個實根,
於是有解得0<b≤.………………………12分
知識點:導數及其應用
題型:解答題