問題詳情:
如圖,M為等邊△ABC內部的一點,且MA=8,MB=10,MC=6,將△BMC繞點C順時針旋轉得到△ANC.下列説法中:①MC=NC;②AM=AN;③S四邊形AMCN=S△ABC﹣S△ABM;④∠AMC=120°.正確的有__________.(請填上番號)
【回答】
①③
【考點】全等三角形的判定與*質;等邊三角形的*質.
【分析】根據旋轉的*質得到CM=CN,BM=AN,故①正確,②錯誤;△BCM≌△ACN,於是得到S△BCM=S△ACN,求得S四邊形AMCN=S△ACM+S△ACN=S△ABC﹣S△ABM;故③正確;連接MN,根據等邊三角形的*質得到∠ACB=60°,推出△CMN是等邊三角形,根據等邊三角形的*質得到∠CMN=60°,MN=CM=6,根據勾股定理的逆定理得到∠AMN=90°,求得∠AMC=150°,故④錯誤.
【解答】解:∵△BMC繞點C順時針旋轉得到△ANC,
∴CM=CN,BM=AN,故①正確,②錯誤;
△BCM≌△ACN,
∴S△BCM=S△ACN,
∴S四邊形AMCN=S△ACM+S△ACN=S△ABC﹣S△ABM;故③正確;
連接MN,∵△ABC是等邊三角形,
∴∠ACB=60°,
∵∠ACN=∠BCM,
∴∠MCN=60°,
∴△CMN是等邊三角形,
∴∠CMN=60°,MN=CM=6,
在△AMN中,∵AM2+MN2=82+62=102=AN2,
∴∠AMN=90°,
∴∠AMC=150°,故④錯誤,
故*為:①③.
【點評】本題考查了全等三角形的*質,旋轉的*質,等邊三角形的*質,勾股定理的逆定理,連接MN構造等邊三角形是解題的關鍵.
知識點:等腰三角形
題型:填空題