問題詳情:
(1)問題發現:
(1)如圖1,在正方形ABCD中,點E、F分別是邊BC、AB上的點,且CE=BF,連接DE,過點E作EG⊥DE,使EG=DE,連接FG,FC,請判斷:FG與CE的數量關係是 ,位置關係是 .
(2)拓展探究:
如圖2,若點E、F分別是CB、BA延長線上的點,其它條件不變,(1)中結論是否仍然成立?請出判斷判斷予以*;
(3)類比延伸:
如圖3,若點E、F分別是BC、AB延長線上的點,其它條件不變,(1)中結論是否仍然成立?請直接寫出你的判斷.
【回答】
【考點】LO:四邊形綜合題.
【分析】(1)構造輔助線後*△HGE≌△CED,利用對應邊相等求*四邊形GHBF是矩形後,利用等量代換即可求出FG=CE,FG∥CE;
(2)構造輔助線後*△HGE≌△CED,利用對應邊相等求*四邊形GHBF是矩形後,利用等量代換即可求出FG=CE,FG∥CE;
(3)*△CBF≌△DCE,即可*四邊形CEGF是平行四邊形,即可得出結論.
【解答】解:(1)FG=CE,FG∥CE;理由如下:
過點G作GH⊥CB的延長線於點H,如圖1所示:
則GH∥BF,∠GHE=90°,
∵EG⊥DE,
∴∠GEH+∠DEC=90°,
∵∠GEH+∠HGE=90°,
∴∠DEC=∠HGE,
在△HGE與△CED中,,
∴△HGE≌△CED(AAS),
∴GH=CE,HE=CD,
∵CE=BF,
∴GH=BF,
∵GH∥BF,
∴四邊形GHBF是矩形,
∴GF=BH,FG∥CH
∴FG∥CE,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴CD=BC,
∴HE=BC,
∴HE+EB=BC+EB,
∴BH=EC,
∴FG=EC;
故*為:FG=CE,FG∥CE;
(2)FG=CE,FG∥CE仍然成立;理由如下:
過點G作GH⊥CB的延長線於點H,如圖2所示:
∵EG⊥DE,
∴∠GEH+∠DEC=90°,
∵∠GEH+∠HGE=90°,
∴∠DEC=∠HGE,
在△HGE與△CED中,,
∴△HGE≌△CED(AAS),
∴GH=CE,HE=CD,
∵CE=BF,∴GH=BF,
∵GH∥BF,
∴四邊形GHBF是矩形,
∴GF=BH,FG∥CH
∴FG∥CE,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴CD=BC,
∴HE=BC,
∴HE+EB=BC+EB,
∴BH=EC,
∴FG=EC;
(3)FG=CE,FG∥CE仍然成立.理由如下:
∵四邊形ABCD是正方形,
∴BC=CD,∠FBC=∠ECD=90°,
在△CBF與△DCE中,,
∴△CBF≌△DCE(SAS),
∴∠BCF=∠CDE,CF=DE,
∵EG=DE,∴CF=EG,
∵DE⊥EG
∴∠DEC+∠CEG=90°
∵∠CDE+∠DEC=90°
∴∠CDE=∠CEG,
∴∠BCF=∠CEG,
∴CF∥EG,
∴四邊形CEGF平行四邊形,
∴FG∥CE,FG=CE.
知識點:特殊的平行四邊形
題型:解答題