問題詳情:
如圖,四邊形是正方形,點為對角線的中點.
(1)問題解決:如圖①,連接,分別取,的中點,,連接,則與的數量關係是_____,位置關係是____;
(2)問題探究:如圖②,是將圖①中的繞點按順時針方向旋轉得到的三角形,連接,點,分別為,的中點,連接,.判斷的形狀,並*你的結論;
(3)拓展延伸:如圖③,是將圖①中的繞點按逆時針方向旋轉得到的三角形,連接,點,分別為,的中點,連接,.若正方形的邊長為1,求的面積.
【回答】
(1),;(2)的形狀是等腰直角三角形,理由見解析;(3)
【解析】
(1)根據題意可得PQ為△BOC的中位線,再根據中位線的*質即可求解;
(2)連接並延長交於點,根據題意*出,為等腰直角三角形,也為等腰直角三角形,由且可得是等腰直角三角形;
(3)延長交邊於點,連接,.*出四邊形是矩形,為等腰直角三角形,,再*出為等腰直角三角形,根據圖形的*質和勾股定理求出O′A,O′B和BQ的長度,即可計算出的面積.
【詳解】
解:(1)∵點P和點Q分別為,的中點,
∴PQ為△BOC的中位線,
∵四邊形是正方形,
∴AC⊥BO,
∴,;
故*為:,;
(2)的形狀是等腰直角三角形.理由如下:
連接並延長交於點,
由正方形的*質及旋轉可得,∠,
是等腰直角三角形,,.
∴,.
又∵點是的中點,∴.
∴.
∴,.
∴,∴.
∴為等腰直角三角形.
∴,.
∴也為等腰直角三角形.
又∵點為的中點,
∴,且.
∴的形狀是等腰直角三角形.
(3)延長交邊於點,連接,.
∵四邊形是正方形,是對角線,
∴.
由旋轉得,四邊形是矩形,
∴,.
∴為等腰直角三角形.
∵點是的中點,
∴,,.
∴.
∴,.
∴.
∴.
∴為等腰直角三角形.
∵是的中點,
∴,.
∵,
∴,,
∴.
∴.
【點睛】
本題考查正方形的*質、等腰直角三角形的判定與*質、旋轉圖形的*質、三角形中位線定理、全等三角形的判定與*質和勾股定理,根據題意作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵.
知識點:特殊的平行四邊形
題型:解答題