如圖，為等邊的外接圓，半徑為2，點在劣弧上運動（不與點重合），連接，，．（1）求*：是的平分線；（2）四邊形的...

問題詳情：

如圖，為等邊的外接圓，半徑為2，點在劣弧上運動（不與點重合），連接，，．

（1）求*：是的平分線；

（2）四邊形的面積是線段的長的函數嗎？如果是，求出函數解析式；如果不是，請説明理由；

（3）若點分別在線段，上運動（不含端點），經過探究發現，點運動到每一個確定的位置，的周長有最小值，隨着點的運動，的值會發生變化，求所有值中的最大值．

【回答】

(1)詳見解析；(2)是， ；(3)

【分析】

(1)根據等弧對等角的*質*即可；

(2)延長DA到E,讓AE=DB,*△EAC≌△DBC,即可表示出S的面積；

(3)作點D關於直線BC、AC的對稱點D1、D2，當D1、M、N、D共線時△DMN取最小值，可得t=D1D2，有對稱*推出在等腰△D1CD2中,t=，D與O、C共線時t取最大值即可算出．

【詳解】

(1)∵△ABC為等邊三角形,BC=AC，

∴,都為圓，

∴∠AOC=∠BOC=120°，

∴∠ADC=∠BDC=60°，

∴DC是∠ADB的角平分線．

(2)是．

如圖，延長DA至點E，使得AE=DB．

連接EC，則∠EAC=180°－∠DAC＝∠DBC．

∵AE＝DB，∠EAC＝∠DBC,AC＝BC，

∴△EAC≌△DBC(SAS)，

∴∠E=∠CDB=∠ADC=60°，

故△EDC是等邊三角形，

∵DC=x，∴根據等邊三角形的特殊*可知DC邊上的高為

∴．

(3)依次作點D關於直線BC、AC的對稱點D1、D2,根據對稱*

C△DMN=DM+MN+ND=D1M+MN+ND2．

∴D1、M、N、D共線時△DMN取最小值t,此時t=D1D2,

由對稱有D1C=DC=D2C=x，∠D1CB=∠DCB，∠D2CA=∠DCA,

∴∠D1CD2=∠D1CB+∠BCA+∠D2CA=∠DCB+60°+∠DCA=120°．

∴∠CD1D2=∠CD2D1=60°，

在等腰△D1CD2中,作CH⊥D1D2，

則在Rt△D1CH中，根據30°特殊直角三角形的比例可得D1H=，

同理D2H=

∴t=D1D2=．

∴x取最大值時,t取最大值．

即D與O、C共線時t取最大值,x=4．

所有t值中的最大值為．

【點睛】

本題考查圓與正多邊形的綜合以及動點問題，關鍵在於結合題意作出合理的輔助線轉移已知量．

知識點：正多邊形和圓

題型：解答題