點A、B、C、D在同一個球的球面上，AB=BC=AC=，若四面體ABCD體積的最大值為，則這個球的表面積為（　...

問題詳情：

點A、B、C、D在同一個球的球面上，AB=BC=AC=，若四面體ABCD體積的最大值為，則這個球的表面積為（　　）

A．   B．8π  C．   D．

【回答】

C【考點】球的體積和表面積．

【專題】綜合題；空間位置關係與距離．

【分析】根據幾何體的特徵，判定外接球的球心，求出球的半徑，即可求出球的表面積．

【解答】解：根據題意知，△ABC是一個等邊三角形，其面積為，外接圓的半徑為1．

小圓的圓心為Q，若四面體ABCD的體積的最大值，由於底面積S△ABC不變，高最大時體積最大，

所以，DQ與面ABC垂直時體積最大，最大值為S△ABC×DQ=，

∴DQ=4，

設球心為O，半徑為R，

則在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=12+（4﹣R）2，∴R=

則這個球的表面積為：S=4π（）2=

故選C．

【點評】本題考查的知識點是球內接多面體，球的表面積，其中分析出何時四面體ABCD的體積的最大值，是解答的關鍵．

知識點：球面上的幾何

題型：選擇題