問題詳情:
(2019·河南中考模擬)如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交於A、B兩點,與y軸交於C.直線y=x+3經過點A、C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)P是拋物線上一動點,過P作PM∥y軸交直線AC於點M,設點P的橫座標為t.
①若以點C、O、M、P為頂點的四邊形是平行四邊形,求t的值.
②當*線MP,AC,MO中一條*線平分另外兩條*線的夾角時,直接寫出t的值.
【回答】
(1);(2)①滿足條件的t的值為2或﹣2+2或﹣2﹣2;②綜合以上可得t的值為
【解析】
(1)在y=x+3中,令x=0,y=3;令y=0,x=﹣4,得A(﹣4,0),C(0,3),
代入拋物線y=-x2+bx+c解析式得:,
∴拋物線的解析式;
(2)設P(t,),
∵四邊形OCMP為平行四邊形,
∴PM=OC=3,PM∥OC,
∴M點的座標可表示為(t,t+3),
∴PM=,
∴|=3,
當﹣t2﹣3t=3,解得t=2,
當﹣t2﹣3t=﹣3,解得t1=﹣2+2,t2=﹣2﹣2,
綜上所述,滿足條件的t的值為2或﹣2+2或﹣2﹣2;
(3)如圖1,
若當MP平分AC、MO的夾角,
則∠AMN=∠OMN,
∵PN⊥OA,
∴AN=ON,
∴t的值為﹣2;
如圖2,
若AC平分MP、MO的夾角,過點C作CH⊥OA,CG⊥MP,
則CG=CH,
∵,
∴OM=OC=3,
∵點M在直線AC上,
∴M(t,t+3),
∴MN2+ON2=OM2,可得,,
解得t=﹣,
如圖3,
若MO平分AC、MP的夾角,則可得∠NMO=∠OMC,過點O作OK⊥AC,
∴OK=ON,
∵∠AKO=∠AOC=90°,∠OAK=OAC,
∴△AOK∽△ACO,
∴,
∴,
∴OK=,
∴t=﹣,
綜合以上可得t的值為.
【點睛】
本題考查了二次函數的知識,其中涉及了平行四邊形的判定,角平分線的*質定理、等腰三角形的判定等知識.
知識點:相似三角形
題型:綜合題