問題詳情:
如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,過點A、C、D作拋物線,與x軸的另一交點為E,連結CE。
(1)求點A、B、C、D的座標;
(2)已知拋物線的對稱軸l交x軸於點F,交線段CD於點K,點M、N分別是直線l和x軸上的動點,連結MN,當線段MN恰好被BC垂直平分時,求點N的座標;
(3)在滿足(2)的條件下,過點M作一條直線,使之將四邊形ABCD的面積分為2:3的兩部分,設該直線與x軸交於點P,求點P的座標。
【回答】
(1)在拋物線中,令,解得,∴A(2,0)。
令,解得,∴D(0,4)。
∵ 的對稱軸為,點C、D關於x軸對稱,∴C()。
∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴AB=CD=5。∴B()。
則點M的座標為(,),即GF= MF=,BF=。
∴。
又∵MN被BC垂直平分,∴BM=BN=。
∴BN=OB+BN=3+。
∴點N的座標為(,0)。
(3)如圖2,過點M作直線交x軸於點P,交CD於點Q,
易求四邊形ABCD的面積為20,
設四邊形PBCQ的面積為S,點P的座標為(a,0),則
若點P在對稱軸的左側,則FP=,,CQ=,PB=。
當S=8時,,解得。
當S=12時,,解得,小於,超出AB的範圍。
若點P在對稱軸的右側,則FP=,,CQ=,PB=。
當S=8時,,解得,與點P在對稱軸的右側不符。
當S=12時,,解得,與點P在對稱軸的右側不符。
綜上所述,滿足條件的點P的座標為。
【考點】二次函數綜合題,雙動點問題,曲線上點的座標與方程的關係,平行四邊形的*質,二次函數的*質,相似三角形的判定和*質,分類思想的應用。
知識點:相似三角形
題型:綜合題