如圖*，四邊形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，頂點在B點的拋物線交x軸於點A、D，交y軸於點...

問題詳情：

如圖*，四邊形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，頂點在B點的拋物線交x軸於點A、D，交y軸於點E，連接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．

（1）求拋物線的解析式及頂點B的座標；

（2）求*：CB是△ABE外接圓的切線；

（3）試探究座標軸上是否存在一點P，使以D、E、P為頂點的三角形與△ABE相似，若存在，直接寫出點P的座標；若不存在，請説明理由；

（4）設△AOE沿x軸正方向平移t個單位長度（0＜t≤3）時，△AOE與△ABE重疊部分的面積為s，求s與t之間的函數關係式，並指出t的取值範圍．

【回答】

【分析】（1）已知A、D、E三點的座標，利用待定係數法可確定拋物線的解析式，進而能得到頂點B的座標．

（2）過B作BM⊥y軸於M，由A、B、E三點座標，可判斷出△BME、△AOE都為等腰直角三角形，易*得∠BEA=90°，即△ABE是直角三角形，而AB是△ABE外接圓的直徑，因此只需*AB與CB垂直即可．BE、AE長易得，能求出tan∠BAE的值，結合tan∠CBE的值，可得到∠CBE=∠BAE，由此*得∠CBA=∠CBE+∠ABE=∠BAE+∠ABE=90°，此題得*．

（3）△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=，即AE=3BE，若以D、E、P為頂點的三角形與△ABE相似，那麼該三角形必須滿足兩個條件：①有一個角是直角、②兩直角邊滿足1：3的比例關係；然後分情況進行求解即可．

（4）過E作EF∥x軸交AB於F，當E點運動在EF之間時，△AOE與△ABE重疊部分是個四邊形；當E點運動到F點右側時，△AOE與△ABE重疊部分是個三角形．按上述兩種情況按圖形之間的和差關係進行求解．

【解答】（1）解：由題意，設拋物線解析式為y=a（x﹣3）（x+1）．

將E（0，3）代入上式，解得：a=﹣1．

∴y=﹣x2+2x+3．

則點B（1，4）．

（2）*：如圖1，過點B作BM⊥y於點M，則M（0，4）．

在Rt△AOE中，OA=OE=3，

∴∠1=∠2=45°，AE==3．

在Rt△EMB中，EM=OM﹣OE=1=BM，

∴∠MEB=∠MBE=45°，BE==．

∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°．

∴AB是△ABE外接圓的直徑．

在Rt△ABE中，tan∠BAE===tan∠CBE，

∴∠BAE=∠CBE．

在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°．

∴∠CBA=90°，即CB⊥AB．

∴CB是△ABE外接圓的切線．

（3）解：Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=，sin∠BAE=，cos∠BAE=；

若以D、E、P為頂點的三角形與△ABE相似，則△DEP必為直角三角形；

①DE為斜邊時，P1在x軸上，此時P1與O重合；

由D（﹣1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3，即tan∠DEO==tan∠BAE，即∠DEO=∠BAE

滿足△DEO∽△BAE的條件，因此 O點是符合條件的P1點，座標為（0，0）．

②DE為短直角邊時，P2在x軸上；

若以D、E、P為頂點的三角形與△ABE相似，則∠DEP2=∠AEB=90°，sin∠DP2E=sin∠BAE=；

而DE==，則DP2=DE÷sin∠DP2E=÷=10，OP2=DP2﹣OD=9

即：P2（9，0）；

③DE為長直角邊時，點P3在y軸上；

若以D、E、P為頂點的三角形與△ABE相似，則∠EDP3=∠AEB=90°，cos∠DEP3=cos∠BAE=；

則EP3=DE÷cos∠DEP3=÷=，OP3=EP3﹣OE=；

綜上，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，﹣）．

（4）解：設直線AB的解析式為y=kx+b．

將A（3，0），B（1，4）代入，得，解得．

∴y=﹣2x+6．

過點E作*線EF∥x軸交AB於點F，當y=3時，得x=，∴F（，3）．

情況一：如圖2，當0＜t≤時，設△AOE平移到△GNM的位置，MG交AB於點H，MN交AE於點S．

則ON=AG=t，過點H作LK⊥x軸於點K，交EF於點L．

由△AHG∽△FHM，得，即．

解得HK=2t．

∴S*=S△MNG﹣S△SNA﹣S△HAG=×3×3﹣（3﹣t）2﹣t2t=﹣t2+3t．

情況二：如圖3，當＜t≤3時，設△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB於點I，交AE於點V．

由△IQA∽△IPF，得．即，

解得IQ=2（3﹣t）．

∵AQ=VQ=3﹣t，

∴S*=IVAQ=（3﹣t）2=t2﹣3t+．

綜上所述：s=．

【點評】該題考查了二次函數的綜合題，涉及到二次函數解析式的確定、切線的判定、相似三角形的判定、圖形面積的解法等重點知識，綜合*強，難度係數較大．此題的難點在於後兩個小題，它們都需要分情況進行討論，容易出現漏解的情況．在解答動點類的函數問題時，一定不要遺漏對應的自變量取值範圍．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題