如圖，四稜錐P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD...

問題詳情：

如圖，四稜錐P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點.

（Ⅰ）*MN∥平面PAB;

（Ⅱ）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.

【回答】

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）．

【詳解】

（Ⅰ）由已知得.

取的中點，連接，由為中點知，.

又，故，四邊形為平行四邊形，於是.

因為平面，平面，所以平面.

（Ⅱ）取的中點，連結.由得，從而，且

.

以為座標原點， 的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角座標系.由題意知，

，，，，

， ，.

設為平面 的一個法向量，則

即

可取.

於是.

【考點】

空間線面間的平行關係，空間向量法求線面角．

【技巧點撥】

（1）*立體幾何中的平行關係，常常是通過線線平行來實現，而線線平行常常利用三角形的中位線、平行四邊形與梯形的平行關係來推*；（2）求解空間中的角和距離常常可通過建立空間直角座標系，利用空間向量中的夾角與距離來處理．

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題