邊長為2的正方形ABCD中，P是對角線AC上的一個動點（點P與A、C不重合），連接BP，將BP繞點B順時針旋轉...

問題詳情：

邊長為2的正方形ABCD中，P是對角線AC上的一個動點（點P與A、C不重合），連接BP，將BP繞點B順時針旋轉90°到BQ，連接QP，QP與BC交於點E，QP延長線與AD（或AD延長線）交於點F．

（1）連接CQ，*：CQ=AP；

（2）設AP=x，CE=y，試寫出y關於x的函數關係式，並求當x為何值時，CE=BC；

（3）猜想PF與EQ的數量關係，並*你的結論．

【回答】

【考點】LO：四邊形綜合題．

【分析】（1）*出∠ABP=∠CBQ，由SAS*△BAP≌△BCQ可得結論；

（2）如圖1*△APB∽△CEP，列比例式可得y與x的關係式，根據CE=BC計算CE的長，即y的長，代入關係式解方程可得x的值；

（3）如圖3，作輔助線，構建全等三角形，*△PGB≌△QEB，得EQ=PG，由F、A、G、P四點共圓，

得∠FGP=∠FAP=45°，所以△FPG是等腰直角三角形，可得結論．

如圖4，當F在AD的延長線上時，同理可得結論．

【解答】（1）*：如圖1，∵線段BP繞點B順時針旋轉90°得到線段BQ，

∴BP=BQ，∠PBQ=90°．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BA=BC，∠ABC=90°．

∴∠ABC=∠PBQ．

∴∠ABC﹣∠PBC=∠PBQ﹣∠PBC，即∠ABP=∠CBQ．

在△BAP和△BCQ中，

∵，

∴△BAP≌△BCQ（SAS）．

∴CQ=AP；

（2）解：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAC=∠BAD=45°，∠BCA=∠BCD=45°，

∴∠APB+∠ABP=180°﹣45°=135°，

∵DC=AD=2，

由勾股定理得：AC==4，

∵AP=x，

∴PC=4﹣x，

∵△PBQ是等腰直角三角形，

∴∠BPQ=45°，

∴∠APB+∠CPQ=180°﹣45°=135°，

∴∠CPQ=∠ABP，

∵∠BAC=∠ACB=45°，

∴△APB∽△CEP，

∴，

∴，

∴y=x（4﹣x）=﹣x（0＜x＜4），

由CE=BC==，

∴y=﹣x=，

x2﹣4x=3=0，

（x﹣3）（x﹣1）=0，

x=3或1，

∴當x=3或1時，CE=BC；

（3）解：結論：PF=EQ，理由是：

如圖3，當F在邊AD上時，過P作PG⊥FQ，交AB於G，則∠GPF=90°，

∵∠BPQ=45°，

∴∠GPB=45°，

∴∠GPB=∠PQB=45°，

∵PB=BQ，∠ABP=∠CBQ，

∴△PGB≌△QEB，

∴EQ=PG，

∵∠BAD=90°，

∴F、A、G、P四點共圓，

連接FG，

∴∠FGP=∠FAP=45°，

∴△FPG是等腰直角三角形，

∴PF=PG，

∴PF=EQ．

當F在AD的延長線上時，如圖4，同理可得：PF=PG=EQ．

知識點：各地中考

題型：綜合題