如圖，正三稜柱ABC-A1B1C1的底面邊長是2，側稜長是，D是AC的中點。（1）求*：B1C∥平面A1BD；...

問題詳情：

如圖，正三稜柱ABC-A1B1C1的底面邊長是2，側稜長是，D是AC的中點。

（1）求*：B1C∥平面A1BD；

（2）求二面角A1-BD-A的大小；

（3）在線段AA1上是否存在一點E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD，若存在，求出AE的長；若不存在，説明理由。

【回答】

（1）連結AB1交A1B於M，連結DM，

因為三稜柱ABC-A1B1C1是正三稜柱，

所以四邊形AA1B1B是矩形，

所以M為AB1的中點。

因為D是AC的中點，

所以MD是三角形AB1C的中位線，

所以MD∥B1C。

因為MD平面A1BD，B1C平面A1BD，

所以B1C∥平面A1BD。

（2）作CO⊥AB於O，所以CO⊥平面ABB1A1，

所以在正三稜柱ABC-A1B1C1中如圖建立空間直角座標系O-xyz。

因為AB=2，AA1=，D是AC的中點。

所以A（1，0，0），B（-l，0，0），C（0，0，），A1（1，，0），

所以D（，0，），=（，0，），=（2，，0）。

設n=（x，y，z）是平面A1BD的法向量，

所以即

令x=-，則y=2，z=3，

所以n=（-，2，3）是平面A1BD的一個法向量。

由題意可知=（0，，0）是平面ABD的一個法向量，

所以cos<n，>==。

由題知二面角A1-BD-A為鋭角，所以它的大小為。

（3）設E（1，x，0），則=（1，x-，-），=（-1，0，-），

設平面B1C1E的法向量m=（x1，y1，z1），

所以即

令z1=-，則x1=3，y1=，

m=（3，，-），

又m·n=0，即-3+-3=0，解得x=，

所以存在點E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD且AE=。

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題