問題詳情:
如圖1,在正方形ABCD中,P是對角線BD上的一點,點E在AD的延長線上,且PA=PE,PE交CD於F.
(1)*:PC=PE;
(2)求∠CPE的度數;
(3)如圖2,把正方形ABCD改為菱形ABCD,其他條件不變,當∠ABC=120°時,連接CE,試探究線段AP與線段CE的數量關係,並説明理由.
【回答】
(1)*:在正方形ABCD中,AB=BC,
∠ABP=∠CBP=45°,
在△ABP和△CBP中,
,
∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴PA=PC,
∵PA=PE,
∴PC=PE;
(2)由(1)知,△ABP≌△CBP,
∴∠BAP=∠BCP,
∴∠DAP=∠DCP,
∵PA=PE,
∴∠DAP=∠E,
∴∠DCP=∠E,
∵∠CFP=∠EFD(對頂角相等),
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E,
即∠CPF=∠EDF=90°;
(3)在菱形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP,
在△ABP和△CBP中,
,
∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴PA=PC,∠BAP=∠BCP,∴∠DAP=∠DCP,
∵PA=PE,∴PC=PE,
∵PA=PE,∴∠DAP=∠E,∴∠DCP=∠E,
∵∠CFP=∠EFD,∴∠CPF=∠EDF
∵∠ABC=∠ADC=120°,
∴∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=60°,
∴△EPC是等邊三角形,
∴PC=CE,
∴AP=CE;
知識點:三角形全等的判定
題型:解答題