如圖，P為正方形ABCD的對角線BD上任一點，過點P作PE⊥BC於點E，PF⊥CD於點F，連接EF．給出以下4...

問題詳情：

如圖，P為正方形ABCD的對角線BD上任一點，過點P作PE⊥BC於點E，PF⊥CD於點F，連接EF．給出以下4個結論：

①△FPD是等腰直角三角形；

②AP=EF；

③AD=PD；

④∠PFE=∠BAP．

其中，所有正確的結論是（　　）

A．①② B．①④  C．①②④     D．①③④

【回答】

C【考點】四邊形綜合題．

【分析】用正方形的*質和垂直的定義判斷出四邊形PECF是矩形，從而判定②正確；

直接用正方形的*質和垂直得出①正確，

利用全等三角形和矩形的*質得出④正確，

由點P是正方形對角線上任意一點，説明AD和PD不一定相等，得出③錯誤．

【解答】解：如圖，

∵P為正方形ABCD的對角線BD上任一點，

∴PA=PC，∠C=90°，

∵過點P作PE⊥BC於點E，PF⊥CD，

∴∠PEC=∠DFP=∠PFC=∠C=90°，

∴四邊形PECF是矩形，

∴PC=EF，

∴PA=EF，故②正確，

∵BD是正方形ABCD的對角線，

∴∠ABD=∠BDC=∠DBC=45°，

∵∠PFC=∠C=90°，

∴PF∥BC，

∴∠DPF=45°，

∵∠DFP=90°，

∴△FPD是等腰直角三角形，故①正確，

在△PAB和△PCB中，

，

∴△PAB≌△PCB，

∴∠BAP=∠BCP，

在矩形PECF中，∠PFE=∠FPC=∠BCP，

∴∠PFE=∠BAP．故④正確，

∵點P是正方形對角線BD上任意一點，

∴AD不一定等於PD，

只有∠BAP=22.5°時，AD=PD，故③錯誤，

故選C

【點評】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的*質，矩形的判定和*質，全等三角形的判定和*質，垂直的定義，解本題的關鍵是判斷出四邊形PECF是矩形．

知識點：特殊的平行四邊形

題型：選擇題