如圖，正方形ABCD的對角線交於點O，點E在邊BC上，BE＝BC，AE交OB於點F，過點B作AE的垂線BG交O...

問題詳情：

如圖，正方形ABCD的對角線交於點O，點E在邊BC上，BE＝BC，AE交OB於點F，過點B作AE的垂線BG交OC於點G，連接GE．

（1）求*：OF＝OG．

（2）用含有n的代數式表示tan∠OBG的值．

（3）若BF＝2，OF＝1，∠GEC＝90°，直接寫出n的值．

【回答】

【解析】（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AO＝BO，AC⊥BD，

∴∠AFO+∠FAO＝90°，

∵AE⊥BG，

∴∠BFE+∠FBG＝90°，且∠BFE＝∠AFO，

∴∠FAO＝∠FBG，且OA＝OB，∠AOF＝∠BOG，

∴△AOF≌△BOG（ASA），

∴OF＝OG；

（2）以B為原點，BC所在直線為x軸，AB所在直線為y軸建立平面直角座標系，

∵BE＝BC，

∴設BC＝n，則BE＝1，

∴點A（0，n），點E（1，0），點C座標（n，0），

∴直線AC解析式為：y＝﹣x+n，

直線AE解析式為：y＝﹣nx+n，

∵BG⊥AE，

∴直線BG的解析式為：y＝x，

∴x＝﹣x+n，

∴x＝，

∴點G座標（，），

∵點A（0，n），點E（1，0），點C座標（n，0），

∴BO＝n，點O座標（，），

∴OG＝，

∴tan∠OBG＝；

（3）∵OB＝OF+BF，BF＝2，OF＝1，

∴OB＝3，且OF＝OG，OC＝OB，BO⊥CO，

∴OC＝3，OG＝1，BC＝3，

∴CG＝2，

∵∠GEC＝90°，∠ACB＝45°，

∴GE＝EC＝，

∴BE＝BC﹣EC＝2，

∴，

∴BE＝BC=BC，

∴n＝.

知識點：特殊的平行四邊形

題型：解答題