如圖，在等腰△ABC中，AB＝BC，以AB為直徑的⊙O與AC相交於點D，過點D作DE⊥BC交AB延長線於點E，...

問題詳情：

如圖，在等腰△ABC中，AB＝BC，以AB為直徑的⊙O與AC相交於點D，過點D作DE⊥BC交AB延長線於點E，垂足為點F．

（1）*：DE是⊙O的切線；

（2）若BE＝4，∠E＝30°，求由、線段BE和線段DE所圍成圖形（*影部分）的面積，

（3）若⊙O的半徑r＝5，sinA＝，求線段EF的長．

【回答】

解：（1）如圖，連接，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠BDA＝90°，

∵BA＝BC，

∴AD＝CD，

又∵AO＝OB，

∴OD∥BC，

∵DE⊥BC，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切線；

（2）設⊙O的半徑為x，則OB＝OD＝x，

在Rt△ODE中，OE＝4+x，∠E＝30°，

∴＝，

解得：x＝4，

∴DE＝4，S△ODE＝×4×4＝8，

S扇形ODB＝＝，

則S*影＝S△ODE﹣S扇形ODB＝8﹣；

（3）在Rt△ABD中，BD＝ABsinA＝10×＝2，

∵DE⊥BC，

∴Rt△DFB∽Rt△DCB，

∴＝，即＝，

∴BF＝2，

∵OD∥BC，

∴△EFB∽△EDO，

∴＝，即＝，

∴EB＝，

∴EF＝＝．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題