如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，CN為⊙O的切線，OM⊥AB於點O，分別交AC、CN於D、M兩點．（...

問題詳情：

如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，CN為⊙O的切線，OM⊥AB於點O，分別交AC、CN於D、M兩點．

（1）求*：MD=MC；

（2）若⊙O的半徑為5，AC=4，求MC的長．

【回答】

【分析】（1）連接OC，利用切線的*質*即可；

（2）根據相似三角形的判定和*質以及勾股定理解答即可．

【解答】解：（1）連接OC，

∵CN為⊙O的切線，

∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM=90°，

∵OM⊥AB，

∴∠OAC+∠ODA=90°，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠ACM=∠ODA=∠CDM，

∴MD=MC；

（2）由題意可知AB=5×2=10，AC=4，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴BC=，

∵∠AOD=∠ACB，∠A=∠A，

∴△AOD∽△ACB，

∴，即，

可得：OD=2.5，

設MC=MD=x，在Rt△OCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52，

解得：x=，

即MC=．

【點評】本題考查切線的判定和*質、相似三角形的判定和*質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，正確尋找相似三角形解決問題．

知識點：各地中考

題型：解答題