如圖，⊙O的直徑AB＝4，點C為⊙O上的一個動點，連接OC，過點A作⊙O的切線，與BC的延長線交於點D，點E為...

問題詳情：

如圖，⊙O的直徑AB＝4，點C為⊙O上的一個動點，連接OC，過點A作⊙O的切線，與BC的延長線交於點D，點E為AD的中點，連接CE．

（1）求*：CE是⊙O的切線；

（2）填空：①當CE＝　   　時，四邊形AOCE為正方形；

②當CE＝　   　時，△CDE為等邊三角形．

【回答】

（1）*：連接AC、OE，如圖（1），

∵AB為直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴△ACD為直角三角形，

又∵E為AD的中點，

∴EA＝EC，

在△OCE和△OAE中，

，

∴△OCE≌△OAE（SSS），

∴∠OCE＝∠OAE＝90°，

∴CE⊥OC，

∴CE是⊙O的切線；

（2）解：①C在線段BD的中點時，四邊形AOCE為正方形．理由如下：

當C為邊BD的中點，而E為AD的中點，

∴CE為△BAD的中位線，

∴CE∥AB，CE＝AB＝OA，

∴四邊形OAEC為平行四邊形，

∵∠OAE＝90°，

∴平行四邊形OCEA是矩形，

又∵OA＝OC，

∴矩形OCEA是正方形，

∴CE＝OA＝2，

故*為：2；

②連接AC，如圖（2），

∵△CDE為等邊三角形，

∴∠D＝60°，∠ABD＝30°，CE＝CD，

在Rt△ABC中，AC＝AB＝2，

在Rt△ACD中，∵tan∠D＝，

∴CD＝＝＝，

∴CE＝，

故*為：．

【點評】本題考查了圓的綜合題：考查了圓周角定理、全等三角形的判定與*質、切線的判定定理、平行四邊形的判定、正方形的判定、等邊三角形的*質、三角函數等知識；本題綜合*強，有一定難度．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題