問題詳情:
如圖,PA是⊙O的切線,切點為A,AC是⊙O的直徑,連接OP交⊙O於E.過A點作AB⊥PO於點D,交⊙O於B,連接BC,PB. (1)求*:PB是⊙O的切線; (2)求*:E為△PAB的內心; (3)若cos∠PAB=,BC=1,求PO的長.
【回答】
(1)*:連結OB, ∵AC為⊙O的直徑, ∴∠ABC=90°, ∵AB⊥PO, ∴PO∥BC ∴∠AOP=∠C,∠POB=∠OBC, OB=OC, ∴∠OBC=∠C, ∴∠AOP=∠POB, 在△AOP和△BOP中, , ∴△AOP≌△BOP(SAS), ∴∠OBP=∠OAP, ∵PA為⊙O的切線, ∴∠OAP=90°, ∴∠OBP=90°, ∴PB是⊙O的切線; (2)*:連結AE, ∵PA為⊙O的切線, ∴∠PAE+∠OAE=90°, ∵AD⊥ED, ∴∠EAD+∠AED=90°, ∵OE=OA, ∴∠OAE=∠AED, ∴∠PAE=∠DAE,即EA平分∠PAD, ∵PA、PD為⊙O的切線, ∴PD平分∠APB ∴E為△PAB的內心; (3)解:∵∠PAB+∠BAC=90°,∠C+∠BAC=90°, ∴∠PAB=∠C, ∴cos∠C=cos∠PAB=, 在Rt△ABC中,cos∠C===, ∴AC=,AO=, ∵△PAO∽△ABC, ∴, ∴PO===5. 【解析】
(1)連結OB,根據圓周角定理得到∠ABC=90°,*△AOP≌△BOP,得到∠OBP=∠OAP,根據切線的判定定理*; (2)連結AE,根據切線的*質定理得到∠PAE+∠OAE=90°,*EA平分∠PAD,根據三角形的內心的概念*即可; (3)根據餘弦的定義求出OA,*△PAO∽△ABC,根據相似三角形的*質列出比例式,計算即可. 本題考查的是三角形的內切圓和內心、相似三角形的判定和*質、切線的判定,掌握切線的判定定理、相似三角形的判定定理和*質定理是解題的關鍵.
知識點:各地中考
題型:解答題