如圖，已知AB為⊙O的直徑，F為⊙O上一點，AC平分∠BAF且交⊙O於點C，過點C作CD⊥AF於點D，延長AB...

問題詳情：

如圖，已知AB為⊙O的直徑，F為⊙O上一點，AC平分∠BAF且交⊙O於點C，過點C作CD⊥AF於點D，延長AB、DC交於點E，連接BC、CF.

(1)求*：CD是⊙O的切線；

(2)若AD＝6，DE＝8，求BE的長；

(3)求*：AF＋2DF＝AB.

【回答】

（1）*：如解圖，連接OC.

                   第11題解圖

∵AC平分∠BAD,∴∠OAC=∠CAD，

又∠OAC=∠OCA,∴∠OCA=∠CAD，

∴CO∥AD.

又CD⊥AD，

∴CD⊥OC，

又∵OC是⊙O的半徑，

∴CD是⊙O的切線；

（2）解：在Rt△ADE中，∵AD=6，DE=8，

根據勾股定理得：AE=10，

∵CO∥AD，

∴△EOC∽△EAD,

 ∴.

設⊙O的半徑為r，∴OE=10-r.

∴，

∴r=，

∴BE=10-2r=；

（3）*：如解圖，過點C作CG⊥AB於點G.

∵∠OAC=∠CAD，AD⊥CD，

∴CG=CD，

在Rt△AGC和Rt△ADC中，

∵CG=CD，AC=AC，

∴Rt△AGC≌Rt△ADC（HL），

∴AG=AD.

又∵∠BAC=∠CAD，

∴BC=CF，

在Rt△CGB和Rt△CDF中，

∵BC=FC，CG=CD，

∴Rt△CGB≌Rt△CDF（HL），

∴GB=DF.

∵AG+GB=AB，∴AD+DF=AB，即AF+2DF=AB.

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：綜合題