如圖，已知正三稜錐P-ABC的側面是直角三角形，PA=6，頂點P在平面ABC內的正投影為點D，D在平面PAB內...

問題詳情：

如圖，已知正三稜錐P-ABC的側面是直角三角形，PA=6，頂點P在平面ABC內的正投影為點D，D在平面PAB內的正投影為點E，連結PE並延長交AB於點G.

（Ⅰ）*：G是AB的中點；

（Ⅱ）在圖中作出點E在平面PAC內的正投影F（説明作法及理由），並求四面體PDEF的體積．

【回答】

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）作圖見解析，體積為.

【解析】

試題分析：*AB⊥PG由PA=PB可得G是AB的中點.（Ⅱ）在平面PAB內，過點E作PB的平行線交PA於點F，F即為E在平面PAC內的正投影.根據正三稜錐的側面是直角三角形且PA=6，可得DE=2,PE= 在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2四面體PDEF的體積V=

試題解析：（Ⅰ）因為P在平面ABC內的正投影為D，所以AB⊥PD

因為D在平面PAB內的正投影為E，所以AB⊥DE

所以AB⊥平PED，故AB⊥PG

又由已知可得，PA=PB，從而G是AB的中點.

（Ⅱ）在平面PAB內，過點E作PB的平行線交PA於點F，F即為E在平面PAC內的正投影.

理由如下：由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC，又EF//PB,所以EF⊥PC,因此EF⊥平面PAC，即點F為E在平面PAC內的正投影.

連結CG，因為P在平面ABC內的正投影為D，所以D是正三角形ABC的中心.

由（Ⅰ）知，G是AB的中點，所以D在CG上，故CD=CG

由題設可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE//PC，因此PE=PG,DE=PC

由已知，正三稜錐的側面是直角三角形且PA=6，可得DE=2,PE=

在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2

所以四面體PDEF的體積V=

【考點】線面位置關係及幾何體體積的計算

【名師點睛】文科立體幾何解答題主要考查線面位置關係的*及幾何體體積的計算,空間中線面位置關係的*主要包括線線、線面、面面三者的平行與垂直關係,其中推理論*的關鍵是結合空間想象能力進行推理,注意防止步驟不完整或考慮不全致推理片面,該類題目難度不大,以中檔題為主.

知識點：空間幾何體

題型：解答題