問題詳情:
如圖,四稜錐P-ABCD中,側面PAD是邊長為2
的等邊三角形且垂直於底,,
,是的中點。
(1)*:直線平面;
(2)點在稜上,且直線與底面
所成角為,求二面角的餘弦值。
【回答】
【解析】試題分析:(1) 取的中點,連結, ,由題意*得∥,利用線面平行的判斷定理即可*得結論;(2)建立空間直角座標系,求得半平面的法向量: , ,然後利用空間向量的相關結論可求得二面角的餘弦值為.
試題解析:(1)取中點,連結, .
因為為的中點,所以, ,由得,又
所以.四邊形為平行四邊形, .
又, ,故
(2)
由已知得,以A為座標原點, 的方向為x軸正方向, 為單位長,建立如圖所示的空間直角座標系A-xyz,則
則, , , ,
,則
因為BM與底面ABCD所成的角為45°,而是底面ABCD的法向量,所以
,
即(x-1)²+y²-z²=0
又M在稜PC上,設
由①,②得
所以M,從而
設是平面ABM的法向量,則
所以可取m=(0,-,2).於是
因此二面角M-AB-D的餘弦值為
點睛:(1)求解本題要注意兩點:①兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角,②利用方程思想進行向量運算,要認真細心、準確計算.
(2)設m,n分別為平面α,β的法向量,則二面角θ與<m,n>互補或相等,故有|cos θ|=|cos<m,n>|=.求解時一定要注意結合實際圖形判斷所求角是鋭角還是鈍角.
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:解答題