如圖：在三稜錐D-ABC中，已知是正三角形，AB平面BCD，，E為BC的中點，F在稜AC上，且（1）求三稜錐D...

問題詳情：

如圖：在三稜錐D-ABC中，已知是正三角形，AB平面BCD，，E為BC的中點，F在稜AC上，且

（1）求三稜錐D－ABC的表面積；

（2）求*AC⊥平面DEF；

（3）若M為BD的中點，問AC上是否存在一點N，使MN∥平面DEF？若存在，説明點N的位置；若不存在，試説明理由．

【回答】

解：（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD．

∵△BCD是正三角形，且AB＝BC＝a，∴AD＝AC＝．

設G為CD的中點，則CG＝，AG＝．

∴，，．

三稜錐D－ABC的表面積為．……………..4分

（2）取AC的中點H，∵AB＝BC，∴BH⊥AC．

∵AF＝3FC，∴F為CH的中點．

∵E為BC的中點，∴EF∥BH．則EF⊥AC．

∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．

∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．

∵AB∩BC＝B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．

∵DE∩EF＝E，∴AC⊥平面DEF．[。    …..8分

（3）存在這樣的點N，當CN＝時，MN∥平面DEF．

連CM，設CM∩DE＝O，連OF．由條件知，O為△BCD的重心，CO＝CM．

∴當CF＝CN時，MN∥OF．∴CN＝……….12分

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題