問題詳情:
如圖,點P為正方形ABCD的對角線AC上的一點,連接BP並延長交CD於點E,交AD的延長線於點F,⊙O是△DEF的外接圓,連接DP.
(1)求*:DP是⊙O的切線;
(2)若tan∠PDC=,正方形ABCD的邊長為4,求⊙O的半徑和線段OP的長.
【回答】
(1)連接OD,
∵正方形ABCD中,CD=BC,CP=CP,∠DCP=∠BCP=45°,
∴△CDP≌△CBP(SAS),
∴∠CDP=∠CBP,
∵∠BCD=90°,
∴∠CBP+∠BEC=90°,
∵OD=OE,
∴∠ODE=∠OED,
∠OED=∠BEC,
∴∠BEC=∠OED=∠ODE,
∴∠CDP+∠ODE=90°,
∴∠ODP=90°,
∴DP是⊙O的切線;
(2)∵∠CDP=∠CBE,
∴tan,
∴CE=,
∴DE=2,
∵∠EDF=90°,
∴EF是⊙O的直徑,
∴∠F+∠DEF=90°,
∴∠F=∠CDP,
在Rt△DEF中,,
∴DF=4,
∴==2,
∴,
∵∠F=∠PDE,∠DPE=∠FPD,
∴△DPE∽△FPD,
∴,
設PE=x,則PD=2x,
∴,
解得x=,
∴OP=OE+EP=.
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:解答題