問題詳情:
如圖,在正方形ABCD中,AB=5,P是BC邊上任意一點,E是BC延長 線上一點,連接AP,作PF⊥AP,使PF=PA,連接CF,AF,AF交CD邊於點G,連接PG.
(1)求*:∠GCF=∠FCE;
(2)判斷線段PG,PB與DG之間的數量關係,並*你的結論;
(3)若BP=2,在直線AB上是否存在一點M,使四
邊形DMPF是平行四邊形,若存在,求出BM的
長度,若不存在,説明理由.
【回答】
(1)*:過點F作FH⊥BE於點H,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠ABC=∠PHF=∠DCB=90º,AB=BC,
∴∠BAP+∠APB=90º
∵AP⊥PF,
∴∠APB+∠FPH=90º
∴∠FPH=∠BAP
又∵AP=PF
∴△BAP≌△HPF
∴PH=AB,BP=FH
∴PH=BC
∴BP+PC=PC+CH
∴CH=BP=FH
而∠FHC=90º. ∴∠FCH=CFH=45º
∴∠DCF=90º-45º=45º
∴∠GCF=∠FCE
(2)PG=PB+DG
*:延長PB至K,使BK=DG,
∵四邊形ABCD是正方形
∴AB=AD, ∠ABK=ADG=90º
∴△ABK≌△ADG
∴AK=AG, ∠KAB=∠GAD,
而∠APF=90 º,AP=PF
∴∠PAF=∠PFA=45 º
∴∠BAP+∠KAB=∠KAP=45 º=∠PAF
∴△KAP≌△GAP
∴KP=PG,
∴KB+BP=DG+BP=PG
即,PG=PB+DG;
(3)存在.
如圖,在直線AB上取一點M,使四邊形DMPF是平行四邊形,
則MD∥PF,且MD=FP,
又∵PF=AP,
∴MD=AP
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠ABP=∠DAM
∴△ABP≌△DAM
∴AM=BP=2,
∴BM=AB-AM=5-2=3.
∴當BM=3,BM+AM=AB時,四邊形DMPF是平行四邊形.
知識點:特殊的平行四邊形
題型:解答題