已知向量，，函數．（1）當時，求的值域；（2）若對任意，，求實數的取值範圍．

問題詳情：

已知向量，，函數．

（1）當時，求的值域；

（2）若對任意，，求實數的取值範圍．

【回答】

（1）（2）

【分析】

（1）根據向量數量積，得到函數表達式，利用倍角公式、降冪公式，化簡得，根據自變量x的範圍，求的值域．

（2）利用換元法，令 ，轉化成關於t的一元二次不等式．通過分離參數，結合基本不等式，求參數的取值範圍．

【詳解】

（1）   

 當時，，，

所以的值域為．     

（2）令，，由（1）得，問題等價於，恆成立，當時，；      

 當時，，恆成立，

因為，，若且唯若時，等號成立，

所以的最小值為2，故，綜上，實數的取值範圍為．

【點睛】

本題考查了利用降冪公式、倍角公式對三角函數式化簡、求值，利用換元法、基本不等式等、分離參數法等解不等式，綜合*強，屬於中檔題．

知識點：基本初等函數I

題型：解答題