如圖，已知MN是⊙O的直徑，直線PQ與⊙O相切於P點，NP平分∠MNQ．（1）求*：NQ⊥PQ；（2）若⊙O的...

問題詳情：

如圖，已知MN是⊙O的直徑，直線PQ與⊙O相切於P點，NP平分∠MNQ．

（1）求*：NQ⊥PQ；

（2）若⊙O的半徑R=2，NP=，求NQ的長．

【回答】

【考點】切線的*質．

【分析】（1）連結OP，根據切線的*質由直線PQ與⊙O相切得OP⊥PQ，再由OP=ON得到∠ONP=∠OPN，由NP平分∠MNQ得到∠ONP=∠QNP，利用等量代換得∠OPN=∠QNP，根據平行線的判定得OP∥NQ，所以NQ⊥PQ；

（2）連結PM，根據圓周角定理由MN是⊙O的直徑得到∠MPN=90°，易*得Rt△NMP∽Rt△NPQ，然後利用相似比可計算出NQ的長．

【解答】（1）*：連結OP，如圖，

∴直線PQ與⊙O相切，

∴OP⊥PQ，

∵OP=ON，

∴∠ONP=∠OPN，

∵NP平分∠MNQ，

∴∠ONP=∠QNP，

∴∠OPN=∠QNP，

∴OP∥NQ，

∴NQ⊥PQ；

（2）解：連結PM，如圖，

∵MN是⊙O的直徑，

∴∠MPN=90°，

∵NQ⊥PQ，

∴∠PQN=90°，

而∠MNP=∠QNP，

∴Rt△NMP∽Rt△NPQ，

∴=，即=，

∴NQ=3．

【點評】本題考查了切線的*質：圓的切線垂直於經過切點的半徑．也考查了圓周角定理和相似三角形的判定與*質．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題