．在平面直角座標系xOy中，給出如下定義：對於⊙C及⊙C外一點P，M，N是⊙C上兩點，當∠MPN最大，稱∠MP...

問題詳情：

．在平面直角座標系xOy中，給出如下定義：對於⊙C及⊙C外一點P，M，N是⊙C上兩點，當∠MPN最大，稱∠MPN為點P關於⊙C的“視角”．直線l與⊙C相離，點Q在直線l上運動，當點Q關於⊙C的“視角”最大時，則稱這個最大的“視角”為直線l關於⊙C的“視角”．

（1）如圖，⊙O的半徑為1，

①已知點A（1，1），直接寫出點A關於⊙O的“視角”；已知直線y=2，直接寫出直線y=2關於⊙O的“視角”；

②若點B關於⊙O的“視角”為60°，直接寫出一個符合條件的B點座標；

（2）⊙C的半徑為1，

①點C的座標為（1，2），直線l：y=kx+b（k＞0）經過點D（﹣2+1，0），若直線l關於⊙C的“視角”為60°，求k的值；

②圓心C在x軸正半軸上運動，若直線y=x+關於⊙C的“視角”大於120°，直接寫出圓心C的橫座標xC的取值範

圍．

【回答】

【考點】圓的綜合題．

【分析】（1）①如圖1中，過點A作⊙O的切線，切點分別為E、F．點A關於⊙O的“視角”就是兩條切線的夾角．∠MPN就是直接寫出直線y=2關於⊙O的“視角”；②由①可知，點P關於⊙O的“視角”為60°，根據對稱*即可推出點B座標．

（2）①對於⊙C外的點P，點P關於⊙C的“視角”為60°，則點P在以C為圓心，2為半徑的圓上．又直線l關於⊙C的“視角”為60°，此時，點P是直線l上與圓心C的距離最短的點，推出CP⊥直線l，則直線l是以C為圓心，2為半徑的圓的一條切線，如圖所示．作CH⊥x軸於點H，想辦法求出點P座標即可解決問題．②如圖2中，當⊙C與直線y=x+相切時，設切點為P，連接PC則PC⊥AP，想辦法求出點C座標，如圖3中，設直線y=x+關於⊙C的“視角”為120°，求出此時的點C座標，即可解決問題．

【解答】解：（1）①如圖1中，過點A作⊙O的切線，切點分別為E、F．

∵A（1，1），⊙O的半徑為1，

∴四邊形AEOF是正方形，

∴點A關於⊙O的“視角”為∠EAF=90°，

設直線y=2與y軸的交點為P，過點P作⊙O的切線，切點分別為M、N．

在Rt△POM中，∵PO=2OM，

∴∠OPM=30°，同理∠OPA=30°，

∴∠MPN=60°，

∴直線y=2關於⊙O的“視角”為60°，

故*分別為90°，60°．

②由①可知，點P關於⊙O的“視角”為60°，

∴B（0，2），根據對稱*點B得到座標還可以為（2，0）或（﹣2，0）或（0，﹣2）（本題*不唯一）

（2）解：①如圖1中，

∵直線l：y=kx+b（k＞0）經過點D（﹣2+1，0），

∴（﹣2+1）k+b=0，

∴b=2k﹣k，

∴直線l：y=kx+2k﹣k，

對於⊙C外的點P，點P關於⊙C的“視角”為60°，

則點P在以C為圓心，2為半徑的圓上．

又直線l關於⊙C的“視角”為60°，此時，點P是直線l上與圓心C的距離最短的點．

∴CP⊥直線l．

則直線l是以C為圓心，2為半徑的圓的一條切線，如圖1所示．作CH⊥x軸於點H，

∴點H的座標為（1，0），

∴DH=．

∴∠CDH=30°，∠PDH=60°，

可求得點P的座標（﹣+1，3）．

∴3=（﹣+1）k+2k﹣k，

∴k=．

②如圖2中，當⊙C與直線y=x+相切時，設切點為P，連接PC則PC⊥AP，

∵直線y=x+與x軸的交點為A（﹣1，0），與y軸的交點為（0，），

∴tan∠BAO==，

∴∠BAO=60°，

∵PC⊥AP，

在Rt△APC中，PC=1，

∴AC=PC÷cos30°=，

∴OC=﹣1，

如圖3中，設直線y=x+關於⊙C的“視角”為120°，

作CP⊥AB於P，PE、PF是⊙C的切線，E、F是切點，則∠CPE=60°，PC=CE÷sin60°=，

在Rt△APC中，AC=PC÷sin60°=，

∴OC=﹣1=，

∴直線y=x+關於⊙C的“視角”大於120°時，圓心C的橫座標xC的取值範圍﹣1＜xC＜．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題