問題詳情:
如圖,AB是⊙O的直徑,點C是⊙O上一點(與點A,B不重合),過點C作直線PQ,使得∠ACQ=∠ABC.
(1)求*:直線PQ是⊙O的切線.
(2)過點A作AD⊥PQ於點D,交⊙O於點E,若⊙O的半徑為2,sin∠DAC=,求圖中*影部分的面積.
【回答】
解:(1)*:如圖,連接OC,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°,
∵OA=OC,
∴∠CAB=∠ACO.
∵∠ACQ=∠ABC,
∴∠CAB+∠ABC=∠ACO+∠ACQ=∠OCQ=90°,即OC⊥PQ,
∴直線PQ是⊙O的切線.
(2)連接OE,
∵sin∠DAC=,AD⊥PQ,
∴∠DAC=30°,∠ACD=60°.
又∵OA=OE,
∴△AEO為等邊三角形,
∴∠AOE=60°.
∴S*影=S扇形﹣S△AEO
=S扇形﹣OA•OE•sin60°
=×22﹣×2×2×
=﹣.
∴圖中*影部分的面積為﹣.
【分析】(1)連接OC,由直徑所對的圓周角為直角,可得∠ACB=90°;利用等腰三角形的*質及已知條件∠ACQ=∠ABC,可求得∠OCQ=90°,按照切線的判定定理可得結論.
(2)由sin∠DAC=,可得∠DAC=30°,從而可得∠ACD的 度數,進而判定△AEO為等邊三角形,則∠AOE的度數可得;利用S*影=S扇形﹣S△AEO,可求得*.
知識點:各地中考
題型:解答題