如圖，已知PC平分∠MPN，點O是PC上任意一點，PM與⊙O相切於點E，交PC於A、B兩點．（1）求*：PN與...

問題詳情：

如圖，已知PC平分∠MPN，點O是PC上任意一點，PM與⊙O相切於點E，交PC於A、B兩點．

（1）求*：PN與⊙O相切；

（2）如果∠MPC=30°，PE=2，求劣弧的長．

【回答】

【考點】切線的判定與*質；弧長的計算．

【分析】（1）連接OE，過O作OF⊥PN，如圖所示，利用AAS得到三角形PEO與三角形PFO全等，利用全等三角形對應邊相等得到=OE，即可確定出PN與圓O相切；

（2）在直角三角形POE中，利用30度所對的直角邊等於斜邊的一半求出OE的長，∠EOB度數，利用弧長公式即可求出劣弧的長．

【解答】（1）*：連接OE，過O作OF⊥PN，如圖所示，

∵PM與圓O相切，

∴OE⊥PM，

∴∠OEP=∠OFP=90°，

∵PC平分∠MPN，

∴∠EPO=∠FPO，

在△PEO和△PFO中，

，

∴△PEO≌△PFO（AAS），

∴OF=OE，

則PN與圓O相切；

（2）在Rt△EPO中，∠MPC=30°，PE=2，

∴∠EOP=60°，OE=2，

∴∠EOB=120°，

則的長l==．

【點評】此題考查了切線的判定與*質，弧長公式，熟練掌握切線的判定與*質是解本題的關鍵．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題