如圖，已知AB為⊙O的直徑，PA與⊙O相切於點A，線段OP與弦AC垂直並相交於點D，OP與⊙O相交於點E，連接...

問題詳情：

如圖，已知AB為⊙O的直徑，PA與⊙O相切於點A，線段OP與弦AC垂直並相交於點D，OP與⊙O相交於點E，連接BC．

（1）求*：△PAD∽△ABC；

（2）若PA=10，AD=6，求AB和PE的長．

【回答】

【解答】（1）*：∵PA是⊙O的切線，AB是直徑，

∴∠PAO=90°，∠C=90°，

∴∠PAC+∠BAC=90°，∠B+∠BAC=90°，

∴∠PAC=∠B，

又∵OP⊥AC，

∴∠ADP=∠C=90°，

∴△PAD∽△ABC；

（2）解：∵∠PAO=90°，PA=10，AD=6，

∴PD==8，

∵OD⊥AC，

∴AD=DC=6，

∴AC=12，

∵△PAD∽△ABC，

∴，

∴，

∴AB=15，

∴OE=AB=，

∵OP==，

∴PE=OP﹣OE=﹣=5．

【點評】此題考查了切線的*質，相似三角形的判定與*質，圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，熟練掌握*質及定理是解本題的關鍵．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：綜合題