已知函數f(x)=-2xlnx+x2-2ax+a2,其中a>0.(1)設g(x)是f(x)的導函數,討論...

問題詳情：

已知函數f(x)=-2xlnx+x2-2ax+a2,其中a>0.

(1)設g(x)是f(x)的導函數,討論g(x)的單調*.

(2)*:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恆成立,且f(x)=0在區間(1,+∞)內有唯一解.

【回答】

【解析】(1)由已知,函數的定義域為(0,+∞),

所以g(x)=f′(x)=2(x-1-lnx-a)

所以g′(x)=2-=,

當x∈(0,1)時,g′(x)<0,g(x)單調遞減;

當x∈(1,+∞)時,g′(x)>0,g(x)單調遞增.

(2)由f′(x)=2(x-1-lnx-a)=0,解得a=x-1-lnx.

令φ(x)=-2xlnx+x2-2x(x-1-lnx)+(x-1-lnx)2=(1+lnx)2-2xlnx,

則φ(1)=1>0,φ(e)=2(2-e)<0.

於是,存在x0∈(1,e),使得φ(x0)=0,

令a0=x0-1-lnx0=u(x0),其中u(x)=x-1-lnx(x≥1),

由u′(x)=1-≥0知,函數u(x)在區間(1,+∞)上單調遞增.

故0=u(1)<a0=u(x0)<u(e)=e-2<1,

即a0∈(0,1),

當a=a0時,有f′(x0)=0,f(x0)=φ(x0)=0,

再由(1)知,f′(x)在區間(1,+∞)上單調遞增,

當x∈(1,x0)時,f′(x)<0,從而f(x)>f(x0)=0,

當x∈(x0,+∞)時,f′(x)>0,從而f(x)>f(x0)=0,

又當x∈(0,1]時,f(x)=(x-a0)2-2xlnx>0,

故x∈(0,+∞)時,f(x)≥0.

綜上所述,存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恆成立,且f(x)=0在區間(1,+∞)內有唯一解.

知識點：導數及其應用

題型：解答題