已知函數f(x)=ex.(1)求f(x)的單調區間.(2)*:當f(x1)=f(x2)(x1≠x2)時,x1...

問題詳情：

已知函數f(x)=ex.

(1)求f(x)的單調區間.

(2)*:當f(x1)=f(x2)(x1≠x2)時,x1+x2<0.

【回答】

【解析】(1)函數f(x)的定義域是(-∞,+∞),

f′(x)=′ex+ex

=ex=ex.

當x<0時,f′(x)>0;當x>0時,f′(x)<0.

所以f(x)的單調遞增區間為(-∞,0),單調遞減區間為(0,+∞).

(2)當x<1時,由於>0,ex>0,故f(x)>0;

同理,當x>1時,f(x)<0.當f(x1)=f(x2)(x1≠x2)時,不妨設x1<x2,由(1)知,

x1∈(-∞,0),x2∈(0,1).

下面*:∀x∈(0,1),f(x)<f(-x),即*

ex<e-x.

此不等式等價於(1-x)ex-<0.

令g(x)=(1-x)ex-,

則g′(x)=-xe-x(e2x-1).

當x∈(0,1)時,g′(x)<0,g(x)單調遞減,從而g(x)<g(0)=0,即(1-x)ex-<0,

所以∀x∈(0,1),f(x)<f(-x).

而x2∈(0,1),所以f(x2)<f(-x2),從而f(x1)<f(-x2),由於x1,-x2∈(-∞,0),f(x)在(-∞,0)上單調遞增,所以x1<-x2,即x1+x2<0.

知識點：基本初等函數I

題型：解答題