已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2lnx.(1)討論函數F(x)＝f(x)－g(x)的單調*；(2)...

問題詳情：

已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x.

(1)討論函數F(x)＝f(x)－g(x)的單調*；

(2)若方程f(x)＝g(x)在區間[，e]上有兩個不等解，求a的取值範圍．

【回答】

[解]　(1)F(x)＝ax2－2ln x，其定義域為(0，＋∞)，

∴F′(x)＝2ax－

＝(x>0)．

①當a>0時，由ax2－1>0，得x> .

由ax2－1<0，得0<x< .

故當a>0時，F(x)在區間上單調遞增，

在區間上單調遞減．

②當a≤0時，F′(x)<0(x>0)恆成立．

故當a≤0時，F(x)在(0，＋∞)上單調遞減．

(2)原式等價於方程a＝＝φ(x)在區間[，e]上有兩個不等解．

∵φ′(x)＝在(，)上為增函數，

在(，e)上為減函數，則φ(x)max＝φ()＝，

而φ(e)＝<φ(2)＝＝＝φ()．

∴φ(x)min＝φ(e)，

如圖當f(x)＝g(x)在[，e]上有兩個不等解時有φ(x)min＝.

故a的取值範圍為≤a<.

知識點：*與函數的概念

題型：解答題