問題詳情:
已知四稜錐S-ABCD的底面ABCD是正方形,SA底面ABCD,點E是SC上的一點。
(Ⅰ)求*:平面EBD平面SAC;
(Ⅱ)設SA=4,AB=2,求點A到平面SBD的距離;
(Ⅲ)當SA=AB時,求二面角B-SC-D的大小。
【回答】
解法一:
*(Ⅰ):連結AC,∵ABCD是正方形,∴BD⊥AC,
∵ SA底面ABCD,BDÌ面ABCD,∴SABD,
∵SAÇAC=A,∴BD^面SAC,
又∵BDÌ面EBD,∴平面EBD平面SAC
解(Ⅱ):由 (Ⅰ)知,BD^面SAC,
又∵BDÌ面SBD,∴平面SBD平面SAC,
設ACÇBD=O,則平面SBDÇ平面SAC=SO,
過A作AF^SO交SO於點F,則AF^面SBD,
所以線段AF的長就是點A到平面SBD的距離。
∵ABCD是正方形,AB=2,∴AO=,
又∵SA=4,△SAO是Rt△,∴SO=,
∵SO×AF=SA×AO,∴AF=,
∴點A到平面SBD的距離為
解(Ⅲ):作BM⊥SC於M,連結DM,
∵SA底面ABCD,AB=AD,∴SB=SD,
又∵CB⊥AB,CD⊥AD,∴CB⊥SB,CD⊥SD,
∴△SBC≌△SDC,∴DM⊥SC,
∴∠BMD是二面角B-SC-D的平面角,BM=DM.
在正方形ABCD中,設AB=a,則AC=BD=a,
∵AB=SA,∴SB=a,SC=a,
∵BM×SC=SB×BC, ∴BM=a.
∴cos∠BMD=,
∴二面角B-SC-D的大小為120。
解法二:
*(Ⅰ)同解法一。
∵ABCD是正方形,SA底面ABCD,
∴SA⊥AB,SA⊥AD,AB⊥AD,
如圖,建立直解座標系A-xyz。
(Ⅱ)A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),S(0,0,4),
設平面SBD的法向量為,則⊥,⊥,
∴,,而=(2,0,-4),=(0,2,-4)
∴,
∴x=2,y=2,即,則點A到平面SBD的距離d==
(Ⅲ)設SA=AB=a,則A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),S(0,0,a);設平面SBC的法向量=(x1,y1,-1),平面SDC的法向量=(x2,y2,1)
則,而=(0,a,0),=(-a,0,0),=(a,a,-a)
∴,∴x1=-1,y1=0,x2=0,y2=1
∴=(-1,0,-1),=(0, 1,1), ∴cos<,>==,
∴二面角B-SC-D的大小為120。
知識點:空間幾何體
題型:計算題