問題詳情：
已知
（1）討論函數
的極值；.
（2）若對
，其中
為自然對數的底數，使得
恆成立，求實數
的取值範圍.
【回答】
（1）*見解析；（2）
.
【解析】
【分析】
(1)求出函數的定義域和導數，分
，
兩種情況進行討論，結合導數，即可求出函數的極值.
(2) 設
，分
，
，
三種情況進行討論，結合導數求出每種情況下函數的單調*，即可求出函數的最值，令最大值小於0即可求出實數
的取值範圍.
【詳解】
（1）函數
的定義域為
，
，
當
時，
，故
的單調遞減，無極值；
當
時，令
，得
，則
時，
，
單調遞增，
時，
，
單調遞減，
綜上所述，當
時，
在
處取得極大值
，無極小值.
當
時，無極值.
（2）由題意知，
恆成立，設
，
則只需
在
上的最大值小於零，
，
令
，得
(捨去)或
.
①當
，即
時，
在
上單調遞增，
故
在
上取得最大值
，由
，得
，
解得
，又
，故
，所以
.
②當
，即
時，
在
上單調遞減，
故
在
上取得最大值
，由
，得
.
③當
，即
時，
在
上單調遞增，
在
上單調遞減，故
在
上取得最大值
，
又
，
，所以
，
，故
，
綜上，實數
的取值範圍為
.
【點睛】
本題考查了利用導數求函數的極值，考查了利用導數求函數的最值，考查了利用導數解決不等式恆成立問題，屬於難題.
知識點：導數及其應用
題型：解答題
國文精選館
