（1）討論函數的單調*；（2）對於任意正實數，不等式恆成立，求實數的取值範圍；（3）是否存在最小的正常數，使得...

問題詳情：

（1）討論函數的單調*；

（2）對於任意正實數，不等式恆成立，求實數的取值範圍；

（3）是否存在最小的正常數，使得：當時，對於任意正實數，不等式恆成立？給出你的結論，並説明結論的合理*.

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【回答】

⑵由於，所以.構造函數，則令，得.當時，；當時，.所以函數在點處取得最小值，即.

因此所求的的取值範圍是.                   (7分)

⑶結論：這樣的最小正常數存在.  解釋如下：

.

構造函數，則問題就是要求恆成立.         (9分)

對於求導得 .

令，則，顯然是減函數.

又，所以函數在上是增函數，在上是減函數，而，    

，.

    所以函數在區間和上各有一個零點，令為和，並且有: 在區間和上，即；在區間上，即. 從而可知函數在區間和上單調遞減，在區間上單調遞增. ，當時，；當時，. 還有是函數的極大值，也是最大值.

    題目要找的，理由是：

    當時，對於任意非零正數，，而在上單調遞減，所以一定恆成立，即題目所要求的不等式恆成立，説明；

    當時，取，顯然且，題目所要求的不等式不恆成立，説明不能比小.

    綜合可知，題目所要尋求的最小正常數就是，即存在最小正常數，當時，對於任意正實數，不等式恆成立.    (12分)

( 注意：對於和的存在*也可以如下處理：

令，即. 作出基本函數和 的圖像，藉助於它們的圖像有兩個交點很容易知道方程有兩個正實數根和，且，（實際上），可知函數在區間和上單調遞減，在區間上單調遞增.，當時，；當時，. 還有是函數的極大值，也是最大值. ）

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知識點：基本初等函數I

題型：解答題