已知過原點的動直線與圓相交於不同的兩點，．（1）求圓的圓心座標；（2）求線段的中點的軌跡的方程；（3）是否存在...

問題詳情：

已知過原點的動直線與圓相交於不同的兩點，．

（1）求圓的圓心座標；

（2）求線段的中點的軌跡的方程；

（3）是否存在實數，使得直線與曲線只有一個交點？若存在，求出的取值範圍；若不存在，説明理由．

【回答】

（1）；（2）；（3）存在，或．

【分析】

（1）通過將圓的一般式方程化為標準方程即得結論；（2）設當直線的方程為y=kx，通過聯立直線與圓的方程，利用根的判別式大於0、韋達定理、中點座標公式及參數方程與普通方程的相互轉化，計算即得結論；（3）通過聯立直線與圓的方程，利用根的判別式△=0及軌跡的端點與點（4，0）決定的直線斜率，即得結論

【詳解】

（1）由得，

∴ 圓的圓心座標為；

（2）設，則

∵ 點為弦中點即，

∴即，

∴ 線段的中點的軌跡的方程為；

（3）由（2）知點的軌跡是以為圓心為半徑的部分圓弧（如下圖所示，不包括兩端點），且，，又直線：過定點，

當直線與圓相切時，由得，又，結合上圖可知當時，直線：與曲線只有一個交點．

考點：1.軌跡方程；2.直線與圓相交的位置關係；3.圓的方程

知識點：圓與方程

題型：解答題