問題詳情：
數列{an}滿足a1＝
，a2＝
，且a1a2+a2a3+…+anan+1＝na1 an+1對任何正整數n成立，則
＋
＋…＋
的值為 ．
【回答】
85 解法一：由a1a2+a2a3＝2a1a3及a1＝
，a2＝
，得a3＝
，再由a1a2+a2a3+ a3a4＝3a1a4，a4＝
．
進一步得a5＝
，a6＝
， a7＝
，a8＝
，a9＝
，a10＝
，故
＋
＋…＋
＝4+5+6+7+8+9+10+11+12+13＝85．解法二：由a1a2+a2a3+…+anan+1＝na1 an+1 ①，a1a2+a2a3+…+anan+1+ an+1an+2＝(n+1)a1 an+2 ②，②－①得，an+1an+2＝(n+1)a1 an+2－na1 an+1＝
－
＝
－
＝
＋
，(n≥2)，則a1a2+a2a3＝2a1a3
＝＋
，所以數列{
}成等差數列，公差為1，即＝n+3，an＝
．代入可得
＋
＋…＋
＝85．
知識點：數列
題型：填空題
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