問題詳情:
如圖,在四邊形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分別為AC,CD的中點,連接BM,MN,BN.
(1)求*:BM=MN;
(2)∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的長.
【回答】
(1)*見解析;(2)
【分析】
(1)在△CAD中,由中位線定理得到MN∥AD,且MN=AD,在Rt△ABC中,因為M是AC的中點,故BM=AC,即可得到結論;
(2)由∠BAD=60°且AC平分∠BAD,得到∠BAC=∠DAC=30°,由(1)知,BM=AC=AM=MC,得到∠BMC =60°.由平行線*質得到∠NMC=∠DAC=30°,故∠BMN=90°,得到,再由MN=BM=1,得到BN的長.
【詳解】
(1)在△CAD中,∵M、N分別是AC、CD的中點,∴MN∥AD,且MN=AD,在Rt△ABC中,∵M是AC的中點,∴BM=AC,又∵AC=AD,∴MN=BM;
(2)∵∠BAD=60°且AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC=30°,由(1)知,BM=AC=AM=MC,∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°.∵MN∥AD,∴∠NMC=∠DAC=30°,∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°,∴,而由(1)知,MN=BM=AC=×2=1,∴BN=.
考點:三角形的中位線定理,勾股定理.
知識點:平行四邊形
題型:解答題